TÜMEVARIM

[cellat0640]

TÜME VARIM

Bu bölümde önce,kısaca tümevarım yöntemini, sonrada ÖYS’de karşılamakta olduğumuz å sembolünü ve Õ sembolünü ele alacağız.

TÜME VARIM YÖNTEMİ
Tümevarım yöntemini ifade etmeden önce, önerme ve doğruluk kümesi kavramlarını açıklayalım.

1.Önerme
Doğru ya da yanlış kesin hükümlere önerme denir. İçinde bir değişken bulunan önermelere de açık önerme denir.

ÖRNEK :
“5 bir asal sayıdır” ifadesi doğru bir önermedir.
“10 – 2 . 3 = 0” ifadesi yanlış bir önermedir.
“2n > 2n” ifadesi açık bir önermedir.

2.Doğruluk Kümesi
Bir açık önermeyi doğrulayan değerlerin oluşturduğu kümeye doğruluk kümesi denir.

ÖRNEK :
Sayma sayıları kümesi, N+ = {1,2,3, ...} dir. n bir sayma sayısı olmak üzere, P(n): 2n < 2n + 10 açık önermesinin doruluk kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM :
n = 1 için P(1) : 21 < 2 . 1 + 10 (doğru)
n = 2 için P(2) : 22 < 2 . 2 + 10 (doğru)
n = 3 için P(3) : 23 < 2 . 3 + 10 (doğru)
n = 4 için P(4) : 24 < 2 . 4 + 10 (doğru)
n = 5 için P(5) : 25 < 2 . 5 + 10 (yanlış)
n = 6 için P(6) : 26 < 2 . 6 + 10 (yanlış)
Görüldüğü gibi; P(1), P(2), P(3), P(4) önermeleri doğrudur. Buna göre, doğruluk kümesi D = {1,2,3,4}’tür.

3.Tümevarım Prensibi
Tümevarım prensibi, doğal sayılarla ilgili açık önermelerin doğruluğunu göstermeye yarayan bir ispat metodudur.
n Î N olmak üzere P(n) bir açık önerme ve a Î N ve Na = {a, a + 1, a + 2, ...} olsun.
P(n) önermesi Na kümesinin en küçük elemanı olan n = a için doğrudur. (Yani, P(a) dorudur.)
k ³ a olmak üzere P(n) önermesinin n = k için doğru olduğu (P(k) doğru olsun.) kabul edildiğinde n = k + 1 için doğru olduğu (P(k + 1) doğru) oluyorsa P(n) önermesi Na kümesinin her elemanı için doğrudur.
ÖRNEK :
P(n) : 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n.(n+1).(2n+1) önermesinin doğruluğunu ispat ediniz.
6
ÇÖZÜM :
n = 1 için P(1) : 12 = 1.(1+1).(2.1+1) 1 = 1 ise P(1) doğrudur.
6
n =k için P(k) = 12 + 22 + 32 + ... + k2 = 1.(k+1).(2k+1) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim. 6
n = k + 1 için
P(k+1) = 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = (k+1).(k+2).(2k+3) olduğunu gösterelim.
6
12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k+1)2 = k.(k+1).(2k+1) + (k+1)2 Paydaları eşitleyip, gerekli işlemleri
6
yaparsak sonucun (k+1).(k+2).(2k+3) olduğunu göreceğiz. Demek ki P(k+1) doğrudur.
6
Böylece önerme ispatlanmış olur. O halde bütün doğal sayılar için,

12 + 22 + 32 + ... + n2 = n.(n+1).(2n+1)’dir.
6
TOPLAM SEMBOLÜ

4.Tanım
k bir tam sayı, f : |N |R ye bir fonksiyon olmak şartıyla f(k) = ak olsun. k’ya 1,2,3, ..., n değerlerinin verilmesiyle elde edilen a1, a2, a3, ..., an terimlerinin toplamı, toplam sembolüyle kısaca (å) kısaca,
şeklinde gösterilir.


ÖRNEK :
= 20 + 21 + 22 + 23 + 24 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

5.Önemli bazı formüller
= 1+2+3+...+n=n.(n+1)
2
= 1+3+5+...+(2n – 1) = n2
= 12+22+32+...+n2 = n.(n+1).(n+2)
6
= 13+23+33+...+n3 = [n.(n+1)/2]2
= 1.2+2.3+3.4+...+n(n+1) = n(n+1).(n+2)
3
= 1 + 1 + 1 +...+ 1 = n .
1.2 2.3 3.4 n.(n+1) n+1
= 1+r+r2+r3+...+rn – 1= 1 – r n
1 – r
Bu formüllerin doğruluğu tümevarım yöntemiyle gösterilebilir.

Çarpım Sembolü

6.Tanım
k bir tamolmak şartıyla f(k) = ak olsun.
k’ya 1,2,3, ... , n değerlerinin verilmesiyle elde edilen a1 a2 a3 ... an terimlerinin çarpımı, çarpım sembolüyle (Õ) kısaca,
= a1.a2.a3...an

şeklinde gösterilir.

ÖRNEK :
= 92+.102 = 81.100 = 8100
7.Önemli Bazı Çarpım Formülleri
= 1.2.3.4...n = n!
= r1.r2.r3...rn = r1+2+3+...+n